OPERACIONES FUNDAMENTALES

El área y Perímetro de la casa

La siguiente ilustración corresponde a un terreno al que se le va a construir una casa. El área coloreada con azul es la superficie que ocupará la casa y el resto se usará como jardín y cochera.

1. 
   
   
   
   ¿Cuál es la expresión algebraica del largo del terreno?




2. 
   
   
   
   ¿Cuál es la expresión algebraica del ancho del terreno?




3. 
   
   
   
   ¿Cuál es el perímetro del terreno?




4. 
   
   
   
   ¿Cuál es el área del terreno?




5. 
   
   
   
   ¿Cuáles expresiones representan el área de todo el terreno?




6. 
   
   
   
   ¿Cuál será el perímetro de la casa?




7. 
   
   
   
   ¿Cuál será el área de la casa?




8. 
   
   
   
   ¿Cuál es el área del terreno y de la casa si x =6?




9. 
   
   
   
   ¿Cuánto mide el ancho de un terreno rectangular que mide 2X de largo y su área es de ?




10. 
    
    
    
    Cómo calculas el área de una figura si sus dimensiones están dadas en forma de expresión algebraica?

Todas estas preguntas las vamos a resolver con las herramientas de las operaciones algebraicas a través de Suma y Multiplicación de expresiones algebraicas.

SUMA

La suma o adición es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma).
En aritmética, la suma siempre significa aumento, pero en álgebra la suma es un concepto más general, pues puede significar aumento o disminución de las dos expresiones algebraicas dadas.
Resulta, pues, que sumar una cantidad negativa equivale a restar una cantidad positiva de igual valor absoluto.
Así, la suma de m y –n es m-n, que equivale a restar de m el valor absoluto de –n que es n.
La suma de polinomios consiste en reunir dos o más expresiones algebraicas en una sola recordando que se realizan sumando algebraicamente solo los términos semejantes.
Ejemplo:

SUMA DE POLINOMIOS CON EXPONENTE

En este caso se prosigue de igual forma teniendo cuidado de colocar los términos semejantes debajo de sus semejantes (igual exponente y literal) y hacer uso de la ley de signos anteriormente establecida y por consiguiente reducir términos semejantes.
Ejemplo:

En el caso del problema de la actividad anterior, se utiliza la suma algebraica para hallar el perímetro del terreno y de la casa.

El perímetro del terreno es igual a la suma de los lados de la figura, así tenemos que el perímetro es igual a dos veces el ancho más dos veces el largo.

x + 8 + x + 8 = 2x + 16

Dos veces el largo del terreno es igual a 2x + 16

x + 2 + x + 2 = 2x + 4

Dos veces el ancho del terreno es igual a 2x + 4

Por lo que el perímetro del terreno es igual a la suma de éstas dos expresiones

(2x+16) + (2x+4) = 2x + 16 + 2x + 4 = 4x + 20

RESTA DE POLINOMIOS

La resta o sustracción es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia).
Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados, reduciendo términos semejantes si los hay y ordenando los resultados.
Ejemplo:

REGLA PARA SUPRIMIR LOS SIGNOS DE AGRUPACIÓN

• Para suprimir los signos de agrupación precedidos del signo + (más) se deja el mismo signo que tenga a cada una de las cantidades que se haya dentro de él (paréntesis).


• Para suprimir los signos de agrupación precedidos del signo – (menos), se cambia el signo a cada una de las cantidades que se hayan dentro de él (paréntesis).
  Ejemplo:

{8x-[5x-(-x+y)+7y]+2y}

{8x-[5x+x-y+7y]+2y}

{8x-5x-x+y-7y+2y}=2x-4y

MULTIPLICACIÓN

La multiplicación es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto, que sea respecto del multiplicando, en valor absoluto y signo, lo que el multiplicador es respecto de la unidad positiva.
El multiplicando y multiplicador son llamados factores del producto.
EL ORDEN DE LOS FACTORES NO ALTERA EL PRODUCTO. Esta propiedad, demostrada en aritmética, se cumple también en Álgebra.
Así, el producto ab puede escribirse ba; el producto abc puede escribirse también bac o acb.
Esta es la LEY CONMUTATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN.
La LEY ASOCIATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN nos dice que los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo.
Así, en el producto abcd, tenemos:

LA LEY DE LOS SIGNOS

Distinguiremos dos casos:

SIGNO DEL PRODUCTO DE DOS FACTORES.

En este caso, la regla es:
Signos iguales dan +
Signos diferentes dan –

Ejemplos:

Porque según la definición de multiplicar, el signo del producto tiene que ser respecto del signo del multiplicando lo que el signo de multiplicador es respecto de la unidad positiva, pero en este caso, el multiplicador tiene el mismo signo que la unidad positiva; luego, el producto necesita tener el mismo signo que el multiplicando, pero el signo de multiplicando es +, luego, el signo del producto será +.

Porque teniendo el multiplicador el mismo signo que la unidad positiva, el producto necesita tener el mismo signo que el multiplicando, pero éste tiene -, luego, el producto tendrá -.



Porque teniendo el multiplicador signo contrario a la unidad positiva, el producto tendrá signo contrario al multiplicando, pero el multiplicando tiene +, luego, el producto tendrá -.

Porque teniendo el multiplicador signo contrario a la unidad positiva, el producto ha de tener signo contrario al multiplicando; pero éste tiene -, luego, el producto tendrá +.
Lo anterior podemos resumirlo diciendo que:

LEY DE LOS EXPONENTES EN LA MULTIPLICACIÓN

Para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone por exponente la suma algebraica de los exponentes de los factores.




Así:

LEY DE LOS COEFICIENTES EN LA MULTIPLICACIÓN

El coeficiente del producto de dos factores es el producto de los coeficientes de los factores.
Así:
3a * 4b=12ab
Porque:
3a * 4b=3 X 4 X a X b=12ab

CASOS DE LA MULTIPLICACIÓN

Existen tres casos de multiplicación:

• Multiplicación de monomios.


• Multiplicación de un polinomio por un monomio.


• Multiplicación de polinomios.

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

Se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores. El signo vendrá dado por la Ley de los signos.
Ejemplos:

El signo del producto da + porque + por + da +.

El signo del producto es + porque – por – da +.

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS POR MONOMIOS

Se multiplica el monomio por cada uno de los térmi9nos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos, y se separan los productos parciales con sus propios signos (esta es la LEY DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN).
Ejemplo:

MULTIPLICACIÓN DE DOS POLINOMIOS

Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, la ley de los exponentes y se reducen los términos semejantes.

Ejemplo:

DIVISIÓN

La división es una operación que tiene por objeto, dado producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente).

LEY DE LOS SIGNOS

La ley de los signos en la división es la misma que en la multiplicación.
SIGNOS IGUALES DAN + Y SIGNOS DIFERENTES DAN –
En efecto:

Porque el cociente multiplicado por el divisor tiene que dar el dividendo con su signo y siendo el dividendo positivo, como el divisor es positivo, el cociente tiene que ser positivo para que multiplicado por el divisor reproduzca el dividendo: (+a) X (+b) = + ab
El cociente no puede ser -b porque multiplicado por el divisor no reproduce el dividendo: (+a) X (-b) = -ab.

LEY DE LOS EXPONENTES EN LA DIVISIÓN

Para dividir potencias de la misma base se deja la misma base y se le pone de exponente la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor.
Ejemplo:

LEY DE LOS COEFICIENTES EN LA DIVISIÓN

El coeficiente del cociente es el cociente de dividir el coeficiente del dividendo entre coeficiente del divisor.
Ejemplo:

CASOS DE LA DIVISION

Se estudiaran tres casos de la división

• División de monomios.



• División de un polinomio por un monomio.



• División de dos polinomios.

DIVISION DE MONOMIOS

Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben en orden alfabético las letras, poniéndole a cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo lo da la Ley de los signos.
Ejemplos:

DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE MONOMIO

Se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos (esta es la Ley Distributiva de la división).
Ejemplo:

Porque:

DIVISION DE POLINOMIO ENTRE POLINOMIO

Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra.
Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor y tendremos el primer término del cociente.
Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de este producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor.
Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el segundo término del cociente.
Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos.
Se escribe el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores; y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.
Ejemplo:

PRODUCTOS NOTABLES

Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir sin verificar la multiplicación.
Los productos notables que se van a ver son:

• Producto de la suma o diferencia de dos números o producto de binomios conjugados.


• Binomio al cuadrado o cuadrado de la suma o diferencia de dos números o cuadrado de un binomio.


• Cuadrado de un polinomio.


• Producto de dos binomios con término común.


• Producto de dos binomios con término semejante.


• Binomio al cubo o cubo de un binomio.

BINOMIO AL CUADRADO

Elevar un binomio al cuadrado significa multiplicar el binomio por sí mismo. Cuando un binomio es elevado al cuadrado, se pueden aplicar las reglas del producto de binomios con un término común.

Ejemplo:

El resultado de elevar un binomio al cuadrado es un trinomio llamado TRINOMIO AL CUADRADO PERFECTO, cuyos términos son:

• El cuadrado del primer término del binomio.



• El doble producto del primer término del binomio por el segundo.



• El cuadrado del segundo término del binomio.

RECREACIÓN MATEMÁTICA

El cuadrado de un binomio, o sea, el producto de un binomio por sí mismo puede obtenerse mediante métodos geométricos sencillos.

Escoge cualquiera dos medias para x y y, dibuja un cuadrado de lado (x+y)

Divide el cuadrado en dos rectángulos trazando una perpendicular en los límites de X, o sea, traza la recta MN

Ahora, traza una recta PQ en los límites de Y

Como observarás, el cuadrado original ABCD quedó dividido en dos cuadrados de medidas por lado X e Y respectivamente y dos rectángulos en el cual un lado mide X y el otro Y.

BINOMIOS CONJUGADOS (a+b)(a-b)

El producto de la suma o diferencia de dos números (conjugados) es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

Ejemplo

El producto de dos binomios conjugados es un binomio cuyos términos son:

• El cuadrado de un término común.


• El otro término elevado al cuadrado y con signo negativo.

CUADRADO DE UN POLINOMIO

Significa de elevar al cuadrado el polinomio (a+b+c+d) resultando la siguiente regla:

El resultado del cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada término del polinomio más el doble producto de todos los términos tomados de dos en dos.
Ejemplo:

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN.

El primer término del producto es el producto de los primeros términos de los binomios.
El coeficiente del segundo término del producto es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios y en este término la x está elevada a un exponente que es la mitad del que tiene esta letra en el primer término del producto.
El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios.

Si se multiplican dos binomios con un término común, el resultado es un trinomio compuesto por los siguientes términos:

• El término común elevado al cuadrado.


• El producto del término común por la suma de los términos no comunes.


• El producto de los términos no comunes.

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON TÉRMINOS SEMEJANTES

Tienen la forma (ax+by)(mx-ny)
Para realizar el producto de dos binomios con términos semejantes se siguen los siguientes pasos:

• Se multiplican los primeros términos de los binomios dados.
  
  


• Se multiplican los términos extremos.



• Se multiplican los términos interiores.



• Se multiplican los segundos términos de los binomios dados.
  


• Se reducen los términos semejantes.
  Ejemplo:
  

CUBO DE UN BINOMIO

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triple del cuadrado de la primera por la segunda, más el triple de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda.
O sea:

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, menos el triple del cuadrado de la primera por la segunda, más el triple de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda cantidad.
Ejemplo:

FACTORIZACIÓN

• Escribe todos los números comprendidos entre el número 1 y el 100.


• Identifica todos los números primos que existen entre 1 y el 100.


• Señala todos los pares excepto el dos.


• Señala todos los múltiplos de 3 excepto el 3.


• Señala todos los múltiplos del 4 excepto el 4.


• Señala todos los múltiplos de de números primos.


• ¿Hasta qué número primo tuviste que tachar sus múltiplos?
  Forma un equipo de tres compañeros y juntos piensen en otro procedimiento para determinar los números primos.
  Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí dan como producto la primera expresión, es decir, es un proceso contrario a la multiplicación, ya que el producto se puede descomponer en factores.
  Factorización es cada uno de los elementos que al multiplicarse entre sí dan lugar a un producto.

FACTORIZACIÓN DE UN MONOMIO

Significa descomponer el monomio en factores más simples.
Ejemplo: 12xy=(6)(2)(x)(y)

FACTORAR UN POLINOMIO

Factorizar un polinomio significa transformar una suma algebraica en un producto de factores. Se estudiará la manera de descomponer un polinomio en dos o más factores y son los siguientes:

• Factor común.


• Diferencia de cuadrados.


• Trinomio cuadrado perfecto


• Trinomio de la forma x2+bx + c


• Trinomio de la forma ax2+bx + c


• Polinomios que se factorizan como el cubo de un binomio (cubo perfecto).


• Suma o diferencia de cubos.

EN RESUMEN FACTORIZAR UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA ES EXPRESARLA COMO PRODUCTO.

NOTA.- No todo polinomio se puede descomponer en dos o más factores distintos de 1, pues del mismo modo que en aritmética, hay números primos que solo son divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por ellas mismas y por 1, y que, por tanto, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a+b no puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque solo es divisible por a+b y por 1.

FACTOR COMÚN

El factor común de un polinomio es una expresión algebraica que puede dividir con exactitud cada uno de los términos de un polinomio.
Si cada término de un polinomio tiene un factor común, entonces su factorización será el producto de dos factores uno de los cuales es el factor común mínimo y el otro factor se llama factor polinomio.
Ejemplo: bx+2x=x(b+2).

El factor común es: cada término del polinomio se divide entre el factor común y se tiene:

Esto es igual al factor monomio por el factor polinomio:

FACTOR COMÚN POLINOMIO

En algunas ocasiones los términos del polinomio tienen como factor común a un polinomio, ejemplo:

factorizar

El factor común es el binomio (x+1)

Cada término del polinomio se divide entre el factor común:

Se expresan los dos factores y entonces:

DIFERENCIA DE CUADRADOS

La factorización de la diferencia de dos cuadrados es igual a la suma y diferencia de las cuadradas que forman la diferencia de cuadrados. Su resultado es un producto de binomios conjugados. Para identificarlo se debe cumplir tres requisitos:

• Que tenga dos términos.




• Que estén separados por el signo negativo.




• Que cada término tenga raíz cuadrada perfecta.
  

Al factorizar una diferencia de cuadrados, obtenemos dos binomios conjugados, éstos binomios se obtienen de la siguiente forma:

• Sacamos la raíz de los dos términos de la diferencia (sin considerar su signo).




• Las raíces son los términos de los binomios, siendo el término común el que se derive del término positivo y los simétricos los que resultan del término negativo.
  Ejemplo:

TRINOMIO AL CUADRADO PERFECTO

Este es el resultado del desarrollo de un binomio al cuadrado y se identifica porque su primero y tercer término tienen raíz cuadrada exacta y el segundo término es el doble producto de dichas raíces cuadradas.
Para factorizar un trinomio al cuadrado perfecto se determina la raíz cuadrada del primero y tercer término del trinomio dado, se emplea el signo del segundo término para separar dichas raíces y el binomio así formado se eleva al cuadrado.
Ejemplo:

TRINOMIO DE LA FORMA x2+bx+c

Este resulta del producto de dos binomios con un término común y se identifican porque su primer término que generalmente es el término común de los binomios tiene raíz cuadrada exacta, el segundo término consta de un número cualesquiera positivo o negativo acompañado de una literal que es la raíz cuadrada del primer término y el tercer término es una constante.
El trinomio x2+bx+c se factoriza como producto de binomios con un término común mediante el siguiente procedimiento:

• Se encuentra el término común calculando la raíz cuadrada de x2.






• Se buscan dos números cuya suma sea b (el coeficiente de x) y su producto sea c (el término independiente). Ésta búsqueda se realiza examinando las sumas de los factores de c. De esta manera , se encuentran los términos no comunes de los binomios.

Ejemplo:

Un trinomio de la forma x2+bx+c es cuadrado perfectos si el término bx es el doble producto de las raíces cuadradas de los otros dos.
Los trinomios cuadrados perfectos se factorizan obteniendo la raíz cuadrada del término de segundo grado (x2), ése será un término del binomio; después se obtiene la raíz cuadrada del término independiente c, ése será el otro término del binomio.

Ejemplo:

POLINOMIOS QUE SE FACTORIZAN COMO EL CUBO DE UN BINOMIO

Si el polígono está ordenado de forma descendiente con respecto a una literal se puede factorizar como cubo de un binomio si cumple con los siguientes requisitos:

• El polinomio debe tener cuatro términos.




• El primero y el último término deben ser cubos perfectos, es decir, deben tener raíz cúbica exacta.




• El segundo término deben ser positivos o negativos y el triple producto de la raíz cúbica del primer término al cuadrado por la raíz cúbica del último término.




• Del tercer término debe ser positivo o negativo y el triple producto del primer término por la raíz cúbica del último término al cuadrado.
  Si todos los términos del polinomio son positivos, entonces factorización es el cubo de la suma de las raíces cúbicas del primero y último término del polinomio.
  Si los términos del polinomio son alternadamente positivo y negativo, entonces su factorización es el cubo de la diferencia de las raíces cúbicas del primero y último término del polinomio.
  Ejemplo: